Cho a, b, c đôi 1 khác nhau.
Chứng minh rằng giá trị B không phụ thuộc vào a, b và c.
\(B=\dfrac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{ac}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\). Tính giá trị của biểu thức: \(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right).\left(1+\dfrac{b}{c}\right).\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
TH1 : a + b + c ≠ 0
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{a+b+b+c+a+c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\a+c=2b\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{a+c}{a}=\dfrac{2c}{b}.\dfrac{2a}{c}.\dfrac{2b}{a}=8\)
TH2 : a + b + c = 0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{a+c}{a}=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=-1\)
Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một và \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\). Tính giá trị của biểu thức: \(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right).\left(1+\dfrac{b}{c}\right).\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
Xét 2 TH sau:
TH1: a+b+c=0
Khi đó:
\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\\ =\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}\\ =\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}\\ =-1\)
TH2: a+b+c khác 0
Ta có:
\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Suy ra: a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b
Do đó:
\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\\ =\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}\\ =\dfrac{2c}{b}.\dfrac{2a}{c}.\dfrac{2b}{a}\\ =8\)
Xét 2 TH sau:
TH1: a+b+c=0
Khi đó:
\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\\ =\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}\\ =\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}\\ =-1\)
TH2: a+b+c khác 0
Ta có:
\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Suy ra: a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b
Do đó:
\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\\ =\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{c+a}{a}\\ =\dfrac{2c}{b}.\dfrac{2a}{c}.\dfrac{2b}{a}\\ =8\)
Bổ sung cho bạn Lương Thị Quỳnh Trang
Đặt \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}=k\left(k\in R\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=ck\\b+c=ak\\c+a=bk\end{matrix}\right.\)
Cộng 3 đẳng thức trên, ta có:
2(a + b + c) = (a + b + c)k
<=> (a + b + c)(k - 2) = 0
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\k=2\end{matrix}\right.\)
Với a + b + c = 0 thì giải như bạn ở dưới
Với k = 2 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3c\\a+b+c=3a\\a+b+c=3b\end{matrix}\right.\)
=> 3a = 3b = 3c (= a + b + c) <=> a = b = c
\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=2.2.2=8\)
Vậy M = 8
từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\)
ta có VT=\(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{z^1}}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ac}{b}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{ab}{c}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{bc}{a}}}\)
=\(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{b+ac}{b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{a+bc}{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{c+ab}{c}}}=\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{b}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\sqrt{\dfrac{c}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{ac+ab+bc+ba+ca+cb}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\sqrt{3}.\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
ta cần chứng minh \(\sqrt{\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow8\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
<=>\(8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) (luôn đúng )
^_^
Cho a,b,c là các số nguyên khác nhau đôi một. CMR biểu thức sau có giá trị là 1 số nguyên: \(P=\dfrac{a^3}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right).\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right).\left(c-b\right)}\)
Bài này mình làm một lần ở trường rồi nhưng không có điện thoại chụp được:((
Ta có: \(\dfrac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{a^3\left(c-b\right)+b^3a-b^3c-c^3a+c^3b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c^3-b^3\right)+bc\left(c^2-b^2\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{a^3\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\left(a^2+bc+b^2\right)+bc\left(c-b\right)\left(c+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a^3-ac^2-abc-ab^2+bc^2+b^2c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a^2-b^2\right)-c^2\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)\(=\dfrac{\left(c-b\right)\left[a\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)-bc\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab-c-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)
\(\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[a^2-c^2+ab-bc\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left[\left(a-c\right)\left(a+c\right)+b\left(a-c\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}\)\(=a+b+c\)
Vì a, b, c là các số nguyên
=> a+b+c là các số nguyên
=> Đpcm.
Đấy mình làm chi tiết tiền tiệt lắm luôn, không hiểu thì mình chịu rồi, trời lạnh mà đánh máy nhiều thế này buốt tay lắm luôn:vv
\(Cho 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : \(\dfrac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\) =\(2\left(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right)\)\)
Ta có:
\(\dfrac{b-c}{1\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\dfrac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\dfrac{c-b}{1\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{b-a}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\)
Quy đồng rút gọn ta được
\(=\dfrac{2\left(ab+bc+ca-a^2-b^2-c^2\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{2\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=2\left(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}\right)\)
PS: Hôm qua đi chơi nên nay mới giải nhé.
Cho 3 số a,b,c đôi một khác 0, tính giá trị của biểu thức:
\(A=\left(1+\dfrac{a}{b}\right).\left(1+\dfrac{b}{c}\right).\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
thỏa mãn điều kiện: \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)
Ta có: \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=> a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b
Thay vào A ta được: A=((a+b)/b)((c+b)/c)((a+c)/a)
=2c/b.2a/c.2b/a=2.2.2=8
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến :
\(\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}-\dfrac{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
Cho: \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\). Chứng minh: \(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\) trong đó a, b, c đôi 1 khác nhau và khác 0
Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = \(\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\)
\(M=\dfrac{\left(ab\right)^2}{abc^2\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{acb^2\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(bc\right)^2}{a^2bc\left(b+c\right)}\)
\(M\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2abc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{6abc}\ge\dfrac{9abc}{6abc}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)